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    2016年高考数学试卷分析与复习策略

     

    2016年新课标数学试题与2015年相比整体变化不大,依然坚持对基础知识、数学思想方法进行考查,试卷宽角度、多视点、有层次地考查了数学理性思维能力,考了考生应用数学知识解决数学问题的能力。题目的设置依然有难、中、易,通过分析试卷本身及考生答卷情况,有深刻体会:不同的知识章节有它不同特点,学习、复习时我们要智慧对待

    一、试题传统,常规知识依然要求熟练

    今年数学试题所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内,试题整体难度与2015年基本持平,复数、集合、向量、三视图、算法、三角函数依然在客观题中进行考查。

    其中,“集合与简易逻辑”是高中数学的起始章节,也是整个中学数学的基础。其基础性体现在两个方面,首先集合的思想和语言以及集合的符号在高中数学的很多章节(函数、数列、不等式、立体几何、解析几何以及概率)中被广泛使用;其次,数学离不开变换和推理,而变换与推理又离不开四种命题、充要条件、逻辑联结词等概念,这些知识又是全面理解其它概念和进行正确推理及准确表达的重要工具。2016年高考试卷理科第2题、第3题、第14题充分考查了以上知识点。解答题结构没有明显变化,都是我们在平时重点强调,在考前反复训练的内容。但有些平时基础知识并不是很好的考生也会得不全分。“会做题”和“做对题”之间有一定距离,这就要求我们平时精选例题和习题、多角度练习、重视书写。例如解答题第18题,初看题目不太好理解,但仔细品味考查的就是我们非常熟悉的知识。填空压轴题16题实质考查的就是利用导数解决的切线问题。

    函数与导数,这部分内容不易理解,易错点很多。

    易错点1:求函数定义域忽视细节致误

    错因分析:函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来,列成不等式组,不等式组的解集就是该函数的定义域。在求一般函数定义域时要注意下面几点:1分母不为02偶次被开放式非负;3真数大于0400次幂没有意义。函数的定义域是非空的数集,在解决函数定义域时不要忘记了这点。对于复合函数,要注意外层函数的定义域是由内层函数的值域决定的。

    易错点2带有绝对值的函数单调性判断错误

    错因分析:带有绝对值的函数实质上就是分段函数,对于分段函数的单调性,有两种基本的判断方法:一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间,最后对各个段上的单调区间进行整合;二是画出这个分段函数的图像,结合函数图像、性质进行直观的判断。研究函数问题离不开函数图像,函数图像反应了函数的所有性质,在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图像,学会从函数图像上去分析问题,寻找解决问题的方案。对于函数的几个不同的单调递增区间,千万记住不要使用并集,只要指明这几个区间是该函数的单调递增区间即可。

    易错点3求函数奇偶性的常见错误

    错因分析:求函数奇偶性的常见错误有求错函数定义域或是忽视函数定义域,对函数具有奇偶性的前提条件不清,对分段函数奇偶性判断方法不当等。判断函数的奇偶性,首先要考虑函数的定义域,一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称,如果不具备这个条件,函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下,再根据奇偶函数的定义进行判断,在用定义进行判断时要注意自变量在定义域区间内的任意性。

    易错点4抽象函数中推理不严密致误

    错因分析:很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计出来的,在解决问题时,可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质。解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用,通过特殊赋值可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是进一步解决问题的突破口。抽象函数性质的证明是一种代数推理,和几何推理证明一样,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可漏掉一些条件,更不要臆造条件,推理过程要层次分明,书写规范。

    易错点5函数零点定理使用不当致误

    错因分析:如果函数y=f(x)在区间[ab]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(ab)内有零点,即存在c(ab),使得f(c)=0,这个c也是方程f(c)=0的根,这个结论我们一般称之为函数的零点定理。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”,对于“不变号零点”,函数的零点定理是“无能为力”的,在解决函数的零点时要注意这个问题。

    易错点6混淆两类切线致误

    错因分析:曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线,这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线,这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线,曲线的过一个点的切线可能不止一条。因此求解曲线的切线问题时,首先要区分是什么类型的切线。

    易错点7混淆导数与单调性的关系致误

    错因分析:对于一个函数在某个区间上是增函数,如果认为函数的导函数在此区间上恒大于0,就会出错。研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意:一个函数的导函数在某个区间上单调递增的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大于等于0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。

    易错点8导数与极值关系不清致误

    错因分析:在使用导数求函数极值时,很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点,而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断,误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这些错误的原因是对导数与极值关系不清。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件,在此提醒广大考生在使用导数求函数极值时一定要注意对极值点进行检验。

    二、注重思维能力的培养

    2016年新课标试卷重视对常规思想方法的考查,如数形结合、分类讨论、化归转化等思想方法,试卷对能力的考查全面且重点突出,其中应用能力、分析能力、文字信息处理能力以及心理素质都得到了考查。特别对空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力以及应用意识的要求更高。

    其中,立体几何部分需要一定的空间想象能力,计算能力,这部分知识与其联系不多。在学习过程中,要注意培养一下几种能力:

    第一要建立空间观念,提高空间想象力。

    从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃,要有一个过程。有的同学自制一些空间几何模型并反复观察,这有益于建立空间观念,是个好办法。有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩,并且判断其中的线线、线面、面面位置关系,探索各种角、各种垂线作法,这对于建立空间观念也是好方法。此外,多用图表示概念和定理,多在头脑“证明”定理和构造定理的“图”,对于建立空间观念也是很有帮助的。

    第二要掌握基础知识和基本技能。

    要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式,要及时不断地复习前面学过的内容。这是因为《立体几何》内容前后联系紧密,前面内容是后面内容的根据,后面内容既巩固了前面的内容,又发展和推广了前面内容。在解题中,要书写规范,如用平行四边形ABCD表示平面时,可以写成平面AC,但不可以把平面两字省略掉;要写出解题根据,不论对于计算题还是证明题都应该如此,不能想当然或全凭直观;对于文字证明题,要写已知和求证,要画图;用定理时,必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚,自己心中有数而不把它写出来是不行的。要学会用图(画图、分解图、变换图)帮助解决问题;要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法——分析法、综合法、反证法。

    第三要不断提高总结归纳能力。

    通过联系实际、观察模型或类比平面几何的结论来提出命题;对于提出的命题,不要轻易肯定或否定它,要多用几个特例进行检验,最好做到否定举出反面例子,肯定给出证明。欧拉公式的内容是以研究性课题的形式给出的,要从中体验创造数学知识。要不断地将所学的内容结构化、系统化。所谓结构化,是指从整体到局部、从高层到低层来认识、组织所学知识,并领会其中隐含的思想、方法。所谓系统化,是指将同类问题如平行的问题、垂直的问题、角的问题、距离的问题、惟一性的问题集中起来,比较它们的异同,形成对它们的整体认识。牢固地把握一些能统摄全局、组织整体的概念,用这些概念统摄早先偶尔接触过的或是未察觉出明显关系的已知知识间的联系,提高整体观念。

    第四要注意积累解决问题的策略。如将立体几何问题转化为平面问题,又如将求点到平面距离的问题,或转化为求直线到平面距离的问题,再继而转化为求点到平面距离的问题;或转化为体积的问题。要不断提高分析问题、解决问题的水平:一方面从已知到未知,另方面从未知到已知,寻求正反两个方面的知识衔接点——一个固有的或确定的数学关系。要不断提高反省认知水平,积极反思自己的学习活动,从经验上升到自动化,从感性上升到理性,加深对理论的认识水平,提高解决问题的能力和创造性。

    第五要会转化思想的应用

    相似解立体几何的问题,主要是充分运用转化这种数学思想,要明确在转化过程中什么变了,什么没变,有什么联系,这是非常关键的。例如:

    1.两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

    2.异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离,也可以转化为两平行平面的距离,即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离,再转化为点面距离,点面距离又可转化为点线距离。

    面和面平行可以转化为线面平行,线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到,它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直,进而转化为线线垂直。

    除此以外,更要总结规律,规范训练立体几何解题过程中,常有明显的规律性。例如:求角先定平面角、三角形去解决,正余弦定理、三角定义常用,若是余弦值为负值,异面、线面取锐角。对距离可归纳为:距离多是垂线段,放到三角形中去计算,经常用正余弦定理、勾股定理,若是垂线难做出,用等积等高来转换。不断总结,才能不断高。

    还要注重规范训练,高考中反映的这方面的问题十分严重,不少考生对作、证、求三个环节交待不清,表达不够规范、严谨,因果关系不充分,图形中各元素关系理解错误,符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯,具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要,在立体几何中尤为重要,因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说,考试的每一分都是重要的,在按步给分的原则下,从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的,而且很多情况下,本来很难答出来的题,一步步写下来。

    今年高考数学试题对我们今后数学学习和复习的启示为:注重回归课本、扎实基础,努力提高能力,在数学学习中要体现过程学习,精选习题,有效训练,倡导理性思维,相信大家会在2017年高考中续写辉煌。

     
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